El operador densidad en estados puros

Hola a todos y todas. Dejo aquí el primero de una serie de ejercicios sobre Mecánica Cuántica que me he dispuesto a resolver y publicar en este blog. Tal vez sirva a estudiantes que se estén formando en estos temas. Este es un ejercicio sencillo sobre el operador densidad.

Planteamiento del problema

Considere un operador densidad cualquiera:

$$\hat \rho = \sum_{\alpha} p_\alpha | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha |$$

Demuestre que la ecuación $\hat \rho^2=\hat \rho$ se satisface si y sólo si $\hat \rho$ describe un estado puro.

Solución

Consideremos un ket de prueba $|\phi \rangle$ sobre el cual actúa el operador $\hat \rho^2$:

\begin{eqnarray*} \hat \rho^2 |\phi \rangle &=& \hat \rho \hat \rho | \phi \rangle \\ &=& \sum_{\alpha} p_\alpha | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \left( \sum_{\mu} p_\mu | \psi_\mu \rangle \langle \psi_\mu | \phi \rangle \right) \\ &=& \sum_{\alpha \mu} p_\alpha p_\mu | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \psi_\mu \rangle \langle \psi_\mu | \phi \rangle \end{eqnarray*}

Ahora veamos qué debe cumplirse para que $\hat \rho^2 = \hat \rho$.

\begin{eqnarray*} \hat \rho^2 |\phi \rangle&=&\hat \rho |\phi \rangle \\ \sum_{\alpha \mu} p_\alpha p_\mu | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \psi_\mu \rangle \langle \psi_\mu | \phi \rangle &=& \sum_{\gamma} p_\gamma | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \phi \rangle\\ \sum_{\alpha \mu} p_\alpha p_\mu | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \psi_\mu \rangle \langle \psi_\mu | \phi \rangle-\sum_{\gamma} p_\gamma | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \phi \rangle &=& 0\\ \end{eqnarray*}

Por tratarse de índices mudos podemos hacer que $\mu = \gamma$. Con esto llegamos a que

\begin{eqnarray*} \sum_{\alpha \gamma} p_\alpha p_\gamma | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \phi \rangle-\sum_{\gamma} p_\gamma | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \phi \rangle &=& 0\\ \left(\sum_{\alpha \gamma} p_\alpha p_\gamma | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | - \sum_{\gamma} p_\gamma | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \right) | \phi \rangle &=& 0 \\ \left(\sum_{\alpha} \sum_{\gamma} p_\alpha p_\gamma | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | - \sum_{\gamma} p_\gamma | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \right) | \phi \rangle &=& 0 \\ \left(\sum_{\alpha} p_\alpha | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | - I \right) \sum_{\gamma} p_\gamma | \psi_\gamma \rangle \langle \psi_\gamma | \phi \rangle &=& 0 \end{eqnarray*}

siendo $I$ el operador identidad. Ahora, dado que no estamos considerando el caso trivial en que $\hat \rho$ sea el operador nulo, estamos ante una situación en la que claramente $\left(\sum_{\alpha} p_\alpha | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | - I \right)$ sí debe serlo, puesto que la ecuación se debe satisfacer para cualquier ket de prueba $| \phi \rangle$. Tenemos entonces que

\begin{eqnarray*} \sum_{\alpha} p_\alpha | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | - I &=& \mathbb{0} \end{eqnarray*}

Es decir,

\begin{eqnarray*} \sum_{\alpha} p_\alpha | \psi_\alpha \rangle \langle \psi_\alpha | &=& I \end{eqnarray*}

Ahora, por propiedades de la traza de un operador, si $I$ es de orden $n \times n$, entonces

\begin{eqnarray*} Tr (I)=n \end{eqnarray*}

Además, por propiedades del operador densidad, $Tr~\hat \rho=1$, pero en este caso esto sólo puede ocurrir si $n=1$. Pero hay que tener en cuenta que este $n$ no corresponde a la dimensión del espacio de Hilbert, sino al número de estados de la mezcla estadística de estados. De esta manera, como $n=1$, entonces estamos ante una mezcla estadística de estados de un único estado, es decir, estamos ante un estado puro.